Уже 2000 лет ,как люди сталкиваются с решением квадратных уравнений. Когда— то их надо было решить для того, чтобы измерить площадь участка земли , использовались они и в астрономии.

Напомним Вам, что мы с Вами тоже знаем какие уравнения называются квадратными, какие неполными квадратными уравнениями и как решаются неполные квадратные уравнения . Если Вы забыли —
посмотрите , пожалуйста, наш урок
В наше время любой восьмиклассник умеет вычислять дискриминант и корни квадратного уравнения, раньше над этим бились лучшие умы того времени.
В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
Давайте почувствуем себя участниками турнира и решим задачу знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»
А пока Вы думаете над решением, напомним Вам, что есть несколько способов решения квадратных уравнений

• 1. Разложение левой части уравнения на множители
• 2. Метод выделения полного квадрата
• 3. Решение квадратных уравнений по формуле
• 4. Графическое решение квадратного уравнения
• 5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Сегодня в нашем видеоразборе Вы увидите решение квадратного уравнения с помощью формул и использование теоремы Виета для проверки получившихся корней.

Теорема Виета
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен  x²+bx+c=0. Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней  x²+bx+c=0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.
Рассмотрим теорему Виета на примере:  x2 + 4x + 3 = 0.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она
формулируется так:
Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0 взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями  x2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Контрольная работа

Хотите чтобы мы проверили Ваше решение? Напишите нам и лучшие репетиторы по математике нашего центра сделают это.